Integrales Vectoriales

Integrales Vectoriales

¿Qué es una integral vectorial?

 Sea un vector F (q), que depende de la variable q 2, el resultado de la integración de este vector, es el vector G (q), que al derivarlo con respecto a q, nos da como resultado F (q). Entonces, como la derivada de un vector constante C es cero, la integral indefinida del vector F (q) puede ser escrita

Como ya se mencionó, C es un vector constante, es decir, C no es función de q, ya que dG dq = F (q). Si el escalar q varía continuamente entre dos límites definidos q1 y q2 y representa la suma de los elementos del vector diferencial dG = F (q) dq conforme q varía entre q1 y q2 como ha sido discutido. La integral vectorial también puede ser considerada como la integración escalar de las componentes del integrando.

Clasificación de las integrales vectoriales

 Existen tres categorías generales de integrales de cantidades vectoriales que dependen de varias variables independientes.

a) El integrando es una función escalar y la diferencial es un vector, pero ambas, el integrando y la diferencial, son funciones de n variables independientes q1, q2...qn, es decir

b) El integrando es una función vectorial y la diferencial una función escalar de las variables escalares independientes q1, q2...qn, es decir

c) El integrando y la diferencial son funciones vectoriales de n variables independientes q1, q2...qn, bajo este criterio puede tenerse dos operaciones:

c.1) Cuando el integrando y la diferencial forman un producto escalar

c.2) Cuando el integrando y la diferencial forman un producto vectorial

Estos son los casos generales de la clasificación de integrales vectoriales, sin embargo, las integrales del tipo c) donde el integrando y la diferencial son funciones vectoriales, aparecen en muchas de las aplicaciones en las disciplinas como la mecánica clásica y la termodinámica; este tipo de integrales de línea involucra necesariamente el vector desplazamiento dr, el cual forma parte del concepto fundamental de trabajo y que se expresa a partir de la idea de una integral de línea de la forma c.1).