Tutorial para Resolver Vectores

Vectores

Formas de representar a un Vector

Un vector puede ser expresado y dibujado siguiendo una sola dirección o utilizando un eje de coordenadas x-y llamado plano cartesiano en la vida real este vector puede ser representado en 3 dimensiones en el eje x-y-z.

Ejm:

                         ͢

Dado el vector: P =(-6,10)m  transformar a todas las formas

• Para empezar a resolver el problema debemos observar en qué forma esta el vector, en este caso el vector esta en forma rectangular.

• Debemos tomar en cuenta que datos son los que requerimos y los que ya tenemos para representar en las otras formas:

Entonces:

Px= -6

Py= 10

  ͢

|P|=?

Ɵ= ?

En este caso conocemos las componentes en “x” y en “y” y desconocemos cual es el módulo y la dirección entonces proseguiremos a encontrar el módulo, para hallar el módulo utilizamos el teorema de Pitágoras el cual dice que la hipotenusa al cuadrado es igual  a la suma del primer cateto al cuadrado y el segundo cateto  al cuadrado entonces:

         a2 +b2 = c2  Y esto es: c= a2 +b2

Para obtener el módulo reemplazamos la hipotenusa por el módulo y los catetos por la componente rectangular en “x” y la componente rectangular en “y” respectivamente entonces:

P=11,66

Para encontrar la dirección  utilizamos la fórmulaa

Ɵ=tan-1 Py / Px

Ɵ=tan-1 10/ -6

Ɵ=59,04°

Ɵ=120,96°

Cuando ya obtenemos los datos más importantes procedemos a realizar el gráfico

Cuando terminamos el gráfico seguimos con la interpretación del vector en las otras formas:

Forma Polar

Para representar un vector en forma polar se utiliza su módulo y dirección expresada en grados, entonces:

͢

P= (11,66 m; 120,96°)

Forma de vectores base

Para representar de esta manera al vector se debe aumentar las letras i-j que vienen a ser vectores base a las componentes rectangulares, seguido por las unidades de medida, entonces:

͢

P= (-6 i + 10 j)m

Forma vector unitario

Para representar a un vector en función de su vector unitario se debe considerar las siguientes características:

1.    El vector unitario tiene como módulo al número 1

2.    El vector unitario tiene la misma dirección y sentido que el vector de donde proviene est

3.    Su cálculo se da de la siguiente manera:

P= |P|µP  entonces µP=P / |P|

4.    El vector unitario siempre está en función de los vectores base

          µP= (Px i + Py j) / |P|

5.    El vector unitario no tiene unidades.

Entonces:

 µP=-6i + 10j11,66

µP= -0,51i +0,86j

͢

P= 11,66 m (-0,51i + 0,86j)  El vector unitario está dado por el módulo y el vector unitario.

Forma geográfica

Para representar un vector en la forma geográfica se debe utilizar el módulo del vector y la dirección esta dad por los ejes geográficos o puntos cardinales así los puntos norte, sur, este, oeste, noreste, sureste, noroeste y suroeste.

NE significa N45°E

NO significa N45°E

SE significa S45°E

SO significa S45°O

 

En este caso el ángulo geográfico estaría dado por:

90° - 59,04°= 30,96°

Entonces el vector sería:

͢

P= (11,66 m; N30, 96°O)

  Forma cosenos directores

Para representar a un vector de esta manera se utiliza los ángulos directores alfa y beta  y β siendo el ángulo alfa medido desde el eje x positivo hacia el vector en sentido horario o antihorario siempre y cuando sea menor a 180°.

El ángulo beta es medido desde el eje y positivo hacia el vector en sentido horario o antihorario.

   

Para obtener los cosenos directores utilizamos las siguientes fórmulas:

Para alfa ∞:                    Para beta β:

cos∞= Px /|P|                      cosβ= Py /|P|

Entonces:

∞= cos-1 Px / |P|                     β= cos-1 Py /|P|

∞= cos-1 -611,66                 β= cos-1 1011,66

∞=122,85°                    β= 30,95°

Como resultado:

P= 11,66 m (cos 122,85° i + cos 30,95 j)