jueves, 5 de febrero de 2015

Tipos de velocidades

Velocidad media

La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:
(1)\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}
Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).
Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:
(2)v = \frac{\Delta s}{\Delta t}
La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.
El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:
v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{10}{3} = 3,3\hat{3} \,\, \text{m/s}

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.
Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}
En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:
\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}
donde \mathbf u_t es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y \mathbf r es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Celeridad o rapidez

La celeridad o rapidez es la magnitud o el valor de la velocidad, ya sea velocidad vectorial media, velocidad media sobre la trayectoria, o velocidad instantánea (velocidad en un punto). El módulo del vector velocidad instantánea y el valor numérico de la velocidad instantánea sobre la trayectoria son iguales, mientras que la rapidez promedio no necesariamente es igual a la magnitud de la velocidad promedio. La rapidez promedio (o velocidad media sobre la trayectoria) y la velocidad media tienen la misma magnitud cuando todo el movimiento se da en una dirección. En otros casos, pueden diferir.

Velocidad relativa

Artículo principal: Velocidad relativa
El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como \mathbf v_\text{BA}\;.
Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son \mathbf{v}_\text{A} \, y \mathbf{v}_\text{B}\,, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como \mathbf{v}_\text{BA}\; y viene dada por:
\mathbf{v}_\text{BA} = \mathbf{v}_\text{B} - \mathbf{v}_\text{A}
Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como \mathbf{v}_\text{AB}\; y viene dada por:
\mathbf{v}_\text{AB} = \mathbf{v}_\text{A} - \mathbf{v}_\text{B}
de modo que las velocidades relativas \mathbf{v}_\text{BA}\; y \mathbf{v}_\text{AB}\; tienen el mismo módulo pero dirección contraria.

Velocidad angular

La velocidad angular no es propiamente una velocidad en el sentido anteriormente definido sino una medida de la rapidez con la que ocurre un movimiento de rotación. Aunque no es propiamente una velocidad una vez conocida la velocidad de un punto de un sólido y la velocidad angular del sólido se puede determinar la velocidad instantánea del resto de puntos del sólido.

Velocidad en mecánica relativista

Artículo principal: Cuadrivelocidad
En mecánica relativista puede definirse la velocidad de manera análoga a como se hace en mecánica clásica sin embargo la velocidad así definida no tiene las mismas propiedades que su análogo clásico:
  • En primer lugar la velocidad convencional medida por diferentes observadores, aún inerciales, no tiene una ley de transformación sencilla (de hecho la velocidad no es ampliable a un cuadrivector de manera trivial).
  • En segundo lugar, el momento lineal y la velocidad en mecánica relativista no son proporcionales, por esa razón se considera conveniente en los cálculos substituir la velocidad convencional por la cuadrivelocidad, cuyas componentes espaciales coinciden con la velocidad para velocidades pequeñas comparadas con la luz, siendo sus componentes en el caso general:
U^i = \frac{v_i}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad i\in\{1,2,3\}, \qquad \qquad U^0 = \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
Además esta cuadrivelocidad tiene propiedades de transformación adecuadamente covariantes y es proporcional al cuadrimomento lineal.
En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva. Eso significa que si consideramos dos observadores, A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes v_\text{AO}, v_\text{BO} \,, respecto de un tercer observador O, sucede que:
v_\text{BO} \ne v_\text{BA} + v_\text{AO} \qquad v_\text{AO} \ne v_\text{AB} + v_\text{BO}
Siendo la velocidad v_\text{BA} de B medida por A y v_\text{AB} la velocidad de A medida por B. Esto sucede porque tanto la medida de velocidades, como el transcurso del tiempo para los observadores A y B no es el mismo debido a que tienen diferentes velocidades, y como es sabido el paso del tiempo depende de la velocidad de un sistema en relación a lavelocidad de la luz. Cuando se tiene en cuenta esto, resulta que el cálculo de velocidades relativas no es aditiva. A diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica, donde el paso del tiempo es idéntico para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. Otra forma de verlo es la siguiente: si las velocidades relativas fuera simplemente aditiva en relatividad llegaríamos a contradicciones. Para verlo, consideremos un objeto pequeño que se mueve respecto a otro mayor a una velocidad superior a la mitad de la luz. Y consideremos que ese otro objeto mayor se moviera a más de la velocidad de la luz respecto a un observador fijo. La aditividad implicaría que el objeto pequeño se movería a una velocidad superior a la de la luz respecto al observador fijo, pero eso no es posible porque todos los objetos materiales convencionales tienen velocidades inferiores a la de luz. Sin embargo, aunque las velocidades no son aditivas en relatividad, para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, es decir:
v_\text{B} \approx v_\text{BA} + v_\text{A} \qquad v_\text{A} \approx v_\text{AB} + v_\text{B}
Siendo inadecuada esta aproximación para valores de las velocidades no despreciables frente a la velocidad de la luz.

Velocidad en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no relativista el estado de una partícula se describe mediante una función de onda \psi(x)\, que satisface la ecuación de Schrödinger. La velocidad de propagación media de la partícula viene dado por la expresión:
\mathbf{v} = \frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{\boldsymbol{\nabla}\psi^*}{\psi^*} - \frac{\boldsymbol{\nabla}\psi}{\psi} \right)
Obviamente la velocidad sólo será diferente de cero cuando la función de onda es compleja, siendo idénticamente nula la velocidad de los estados ligados estacionarios, cuya función de onda es real. Esto último se debe a que los estados estacionarios representan estados que no varían con el tiempo y por tanto no se propagan.
En mecánica cuántica relativista se postula que por ejemplo un electrón podría tener junto con una velocidad media macroscópica (medida entre dos instantes diferentes) un movimiento de agitación u oscilación muy rápida adicional conocido como Zitterbewegung, de acuerdo con esa interpretación adicional no existe una relación entre el momento de la partícula y la velocidad asignable a dicho movimiento.
Publicado por en

1 comentario:

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)